Ѳєрмодинамичьска β

Лѣствица прѣображєнїꙗ тємпєратѹрꙑ/стоудености СИ: Тємпєратѹрꙑ по лѣствицѣ Кєлвина синимь цвѣтомь показанꙑ сѫтъ (лѣствица Цєлсїꙗ — ꙁєлєнымь, лѣствица Фарєнхаита — чрьвлєнымь), значєниꙗ стоудености въ гїгабаитѣхъ на наноджоуль показанꙑ сѫтъ чрьнымь. Бєсконьчьна тємпєратѹра (ноулѥва стоуденость) показана ѥстъ горѣ на таблицѣ; положьнꙑ значєниꙗ стоудености/тємпєратѹрꙑ — направо, отрицатєльнꙑ — налѣво.

Въ статистичьсцѣи ѳєрмодинамицѣ ѳєрмодинамичьска β, такождє вѣдома ꙗко стоуденость,^[1] величина ѥстъ, обратьнаꙗ ѳєрмодинамичьсцѣи тємпєратѹрѣ сѷстимꙑ: $\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$ (идєжє T — тємпєратѹра ѥстъ, а k_B — постоꙗньнаꙗ Больцмана).^[2]

Ѳєрмодинамичьска β иматъ размѣръ, обратьнъ єнєргїи (въ ѥдиницахъ СИ, обратьнъ джоулю, $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$ ). Въ нєтєпловꙑхъ ѥдиницахъ такождє иꙁмѣрꙗти сѧ можєтъ въ баитѣхъ на джоуль или, ѥжє оудобнѣѥ ѥстъ, въ гїгабаитѣхъ на наноджоуль;^[3] 1 K⁻¹ равна ѥстъ приближьно 13 062 гїгабаитомъ на наноджоуль; при комнатьнѣи тємпєратѹрѣ: T = 300 K, β ≈ 44 ГБ/нДж ≈ 39 эВ⁻¹ ≈ 2,4 ⋅ 10²⁰ Дж⁻¹. Коєффициєнтъ прѣображєнїꙗ: 1 ГБ/нДж = $8\ln 2\times 10^{18}$ Дж⁻¹.

Описаниѥ

Ѳєрмодинамичьска β, по сѫтьствѹ своѥмѹ, съвѧꙁѹѭщь члѣнъ ѥстъ мєждоу тєорїѥѭ информацїѩ и статистичьскоѭ мєханикоѭ въ тлъковании физичьскꙑ сѷстимꙑ чрєꙁъ ѥѩ єнтропїѭ и ѳєрмодинамикоѭ, съвѧꙁаноѭ съ ѥѩ єнѣргїѥѭ. Она иꙁображаѥтъ отъвѣтъ єнтропїѩ на оувєличєниѥ єнєргїѩ. Ащє къ сѷстимѣ малоѥ число єнєргїѩ приложитъ сѧ, то β описоуѥтъ степень раꙁстроѥниꙗ сѷстимꙑ.

Чрєꙁъ статистичьско опрєдѣлєниѥ тємпєратѹрꙑ ꙗко фѹнкцїѩ єнтропїѩ, фѹнкцїю стоудености ищислити възможно ѥстъ въ микроканоничьсцѣмь съборѣ по формулѣ

\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}},={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}

(сирѣчь чьстьна производнаꙗ єнтропїѩ S по єнєргїи E при постоꙗньнѣмь объѥмѣ V и числѣ частицъ N).

Прєимѹщьства

Ащє и β по съдрьжанию своѥмь съдрьжанию въпълнѣ равна тємпєратѹрѣ, она обꙑчаѥмь мьнитъ сѧ болѣѥ основьноѭ величиноѭ, нжели тємпєратѹра, ради авлѥниꙗ отрицатєльнꙑѩ тємпєратѹрꙑ, при нѥмь жє β прѣбꙑваѥтъ нєпрѣрьвьна при прѣхождении чрєꙁъ ноуль, въ то жє врѣмѧ T иматъ особность.^[4]

Кромѣ того, β иматъ прєимѹщьство, ѥжє ѥѩ причинно-слѣдьствьнѫ съвѧꙁь лѣгчє разоумѣти: ащє къ сѷстимѣ приложитъ сѧ малоѥ число тєпла, β авлꙗѥтъ собоѭ оувєличєниѥ єнтропїѩ, дѣлѥноѥ на оувєличєниѥ тєпла. Тємпєратѹрѫ жє тѧжько тлъковати въ томь жє съмꙑслѣ, понѥжє нєвъзможьно ѥстъ "приложити єнтропїѭ" къ сѷстимѣ иначє, токмо косвьно, иꙁмѣнꙗѩ инꙑ вєличинꙑ, ꙗко тємпєратѹрѫ, объѥмъ или число частицъ.

Статистичьско тлъкованиѥ

Съ точькꙑ ꙁьрѣниꙗ статистикꙑ, β — числова величина ѥстъ, съвѧꙁѹѭщи дъвѣ макроскопичьсцѣи сѷстимѣ въ равновесїи. Точьно иꙁложєниѥ таково ѥстъ. Раꙁсмотривѣ дъвѣ сѷстимѣ, 1 и 2, прѣбꙑваѭщїи въ тєпловѣмь съприкосновєнии, съ съотвѣтьствѹѭщима єнєргїꙗма E₁ и E₂. Положимъ, ꙗко E₁ + E₂ = нѣкаꙗ постоꙗньна E. Число микросостоꙗнии коѥѩждо сѷстимꙑ обозначимъ Ω₁ и Ω₂. Въ прѣдѣлѣхъ нашихъ прєдъположєнии Ω_i ꙁависитъ тъчиѭ отъ E_i. Такождє положимъ, ꙗко любоѥ микросостоꙗниѥ сѷстимꙑ 1, съвъмѣстимо съ E₁, съсѫщьствовати можєтъ съ любꙑмь микросостоꙗниѥмь сѷстимꙑ 2, съвъмѣстимꙑмь съ E₂. Тѣмь жє обраꙁомь, число микросостоꙗнии объѥдинѥнꙑ сѷстимꙑ равно ѥстъ

\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).,

Мꙑ иꙁвєдємъ β иꙁ основьного постоулата статистичьскꙑ мєханикꙑ:

Єгда съѥдинѥна сѷстима достигнѧтъ равновесїꙗ, число Ω наиболшимь станєтъ.

(Инѣми словєсꙑ, сѷстима ѥстєствьномь обраꙁомь тєчєтъ къ наиболшємѹ числѹ микросостоꙗнии.) Того дѣлꙗ, въ равновесїи:

{\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.

Нъ E₁ + E₂ = E значитъ

{\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.

Такъ жє

\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0

сирѣчь

{\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{въ равновесїи.}}

Вышєрєчєноѥ съотношєниѥ побѹждаѥтъ къ опрєдѣлєнию β:

\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.

Съвѧꙁь статистичьского и ѳєрмодинамичьского тлъковании

Єгда дъвѣ сѷстимѣ въ равновесїи прѣбꙑваѭтъ, иматє одинакѫ ѳєрмодинамичьскѫ тємпєратѹрѫ T. Того ради по помышлєнию ожидати лѣпо ѥстъ, ꙗко β (опрєдѣлѥна чрєꙁъ микросостоꙗниꙗ) нѣкыимь обраꙁомь съвѧꙁана ѥстъ съ T. Сїꙗ съвѧꙁь оустроѥна ѥстъ основьнꙑмь постоулатомь Больцмана, пьсанꙑмь ꙗко

S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,

идєжє k_B — постоꙗньнаꙗ Больцмана ѥстъ, S — класічьска ѳєрмодинамичьска єнтропїꙗ, а Ω — число микросостоꙗнии. Тацѣмь обраꙁомь,

d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.

Подъставлꙗѩ въ опрєдѣлєниѥ β иꙁ статистичьского опрєдѣлєниꙗ вышє, имамъ

\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.

Съравьнꙗѭще съ ѳєрмодинамичьскоѭ формоулоѭ

{\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},

имамъ

\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}

идєжє $\tau$ нарицаѥтъ сѧ основьноѭ тємпєратѹроѭ сѷстимꙑ и иматъ размѣръ єнєргїѩ.

Їсторїꙗ

Ѳєрмодинамичьска β прьвоначьльно въвєдєна бѣашє въ лѣто 1971 (ꙗко Kältefunktion «фѹнкцїꙗ стоудености») Ингомь Мюллєромь, ѥдинѣмь иꙁ послѣдоватєлєи школꙑ мꙑсли рациональнꙑѩ ѳєрмодинамикꙑ,^[5]^[6] на основѣ ранѣишихъ прєдъложєнии о фѹнкцїи «обратьнꙑѩ тємпєратѹрꙑ».^[1]^[7]